Question

如图，在正方形ABCD中，等边三角形DEF的顶点E、F分别在AB和BC上。

（1）求证：BE=BF；

（2）若等边三角形DEF的边长为2，求正方形ABCD的周长。

                 

Answer 1

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴ AB=BC=CD=DA , ∠A=∠B=∠C=90°

∵△DEF是等边三角形，

∴DE=DF

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)………………………………………………2分

∴AE=CF

∴AB-AE=BC-CF

即  BE=BF…………………………………………………………4分

(2)设正方形ABCD的边长为a ，由(1)知BE=BF

又∠B=90°

∴BE²+BF²=EF²

即  2BE²=2²   ∴BE=

∴ AE=AB-BE=a-…………………………………………6分

在Rt△ADE中

AD²+AE²=DE²  即a²+(a-)²=2²

解得  a=(舍去负值) …………………………………………8分

∴正方形ABCD的周长=×4=2（）=2+2………………9分