Question

如图，双曲线y=-

2

x

(x＜0)经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴负半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB′C，B'点落在OA上，则四边形OABC的面积是

2

．

Answer 1

分析：设BC的延长线交x轴于点D，连接OC，点C（-m，n），AB=a，由角平分线的性质得，CD=CB′，则△OCD≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C，根据反比例函数的性质，可得出S_△OCD=

1

2

mn=1，由AB∥x轴，得点A（a-m，2n），由题意得2n（a-m）=-2，从而得出三角形ABC的面积等于

1

2

an，即可得出答案．

解答：解：设BC的延长线交x轴于点D，
设点C（-m，n），AB=a，
∵∠ABC=90°，AB∥x轴，
∴CD⊥x轴，
由折叠的性质可得：∠AB′C=∠ABC=90°，
∴CB′⊥OA，
∵OC平分OA与x轴负半轴的夹角，
∴CD=CB′，
在Rt△OB′C和Rt△ODC中，
∵

CB′=CD OC=OC

，
∴Rt△OCD≌Rt△OCB′（HL），
再由翻折的性质得，BC=B′C，
∴BC=CD，
∴点B（-m，2n），
∵双曲线y=-

2

x

（x＜0）经过四边形OABC的顶点A、C，
∴S_△OCD=

1

2

|mn|=1，
∴S_△OCB′=S_△OCD=1，
∵AB∥x轴，
∴点A（a-m，2n），
∴2n（a-m）=-2，
∴an-mn=-1，
∵mn=2
∴an=1，
∴S_△ABC=

1

2

an=

1

2

，
∴S_{四边形OABC}=S_△OCB′+S_△ABC+S_△ABC=1+

1

2

+

1

2

=2．
故答案为：2．

点评：题属于反比例函数的综合题，考查了折叠的性质、反比例函数的性质以及角平分线的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．