Question

已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．下列结论①BF⊥AC，②CE²=2BE²，③AB²=2FG²．其中正确的是

1. A.
   ①②
2. B.
   ①③
3. C.
   ②③
4. D.
   ③

Answer 1

C
分析：①由于过直线上一点只有一条直线与这条直线垂直，因为EF⊥AC于F，所以BF不可能垂直于AC；
②根据四边形ABCD是正方形可得出∠ACB=90°，由勾股定理可得出CE²=2EF²，再根据角平分线的性质可得到EF=BE，进而可得出结论；
③根据AE是∠BAC的平分线可得到EF=EB，再由正方形的性质及勾股定理可得到AF²=2FG²，利用等量代换即可得出结论．
解答：①∵过直线上一点只有一条直线与这条直线垂直，
∵EF⊥AC于F，
∴BF⊥AC不成立；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠CFE=90°，
∴EF=CF，
∵CE²=EF²+CF²，
∴CE²=2EF²，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴EF=BE，
∴CE²=2BE²，故此结论成立；
③∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AC，EB⊥AB，
∴EF=EB，
∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB，
∴AF=AB，
∵FG⊥AB，∠CAB=45°，
∴AG=FG，
∴AF²=2FG²，
∴AB²=2FG²，故此结论成立．
故选C．
点评：本题考查的是正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质，涉及面较广，难度适中．