Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx经过圆点O和x轴上的另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1与抛物线y=a²+bx交于点B（-2，m），且y轴、直线x=2分别交于点D、E．
（1）求m的值及该抛物线对应的函数解析式；
（2）试判断△ECB的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=ax²+bx经过圆点O和x轴上的另一点A，它的对称轴x=2求出A点坐标，再根据再把点B（-2，m）代入直线y=2x-1求出m的值，进而可得出B点坐标，再把A、B两点坐标代入抛物线y=ax²+bx即可求出a、b的值，进而得出抛物线的解析式；
（2）根据点E是直线x=2与y=-2x-1的交点求出E点坐标，根据两点间的距离公式可得出BC，CE即BE的长，进而得出结论．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx经过圆点O和x轴上的另一点A，它的对称轴x=2，
∴A（4，0），
∵点B（-2，m）在直线y=-2x-1上，
∴m=（-2）×（-2）-1=3；
∴B（-2，3），
∵点A（4，0）、B（-2，3）在抛物线y=ax²+bx上，
∴

16a+4b=0 4a-2b=3

，
解得

a= 1 4 b=-1

．
∴抛物线的解析式为：y=

1

4

x²-x；

（2）∵点E是直线x=2与y=-2x-1的交点，
∴

x=2 y=-2x-1

，解得

x=2 y=-5

，
∴E（2，-5），
∵B（-2，3），C（2，0），
∴CE=|-5|=5，BC=

(2+2)2+32

=5，BE=

(2+2)2+(-5-3)2

=4

5

，
∴△BCE是等腰三角形．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特点、等腰三角形的判定等知识，难度适中．