Question

如图1，点A为抛物线C₁：y=x²-2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C₁于另一点C
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C₁于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C₁于G，若FG：DE=4：3，求a的值；
（3）如图2，将抛物线C₁向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C₂，且抛物线C₂的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知抛物线C₁的解析式，易得顶点A的坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式，联立抛物线C₁的解析式后可求得C点坐标．
（2）将x=3代入直线AB、抛物线C₁的解析式中，先求出点D、E的坐标及DE的长，根据FG、DE的比例关系，可求出线段FG的长．同理，先用a表示线段FG的长，然后结合FG的长列出关于a的方程，由此求出a的值．
（3）根据二次函数的平移规律，先求出抛物线C₂的解析式和顶点P的坐标，联立直线AB的解析式可得到点N的坐标．结合N、Q、M三点坐标，易发现△MNQ是等腰直角三角形，过N作NH⊥y轴于H，设MN交y轴于T，那么△MOT、△NHT也是等腰直角三角形，由此求出OT、HT、PT的长；NP是∠MNQ的角平分线，且NQ∥y轴，能证得△NTP是等腰三角形，即NT=TP，由此求出P点的坐标，结合抛物线C₂的解析式，即可确定m的值．
解答：解：（1）∵当x=0时，y=-2；
∴A（0，-2）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则：
，
解得
∴直线AB解析式为y=2x-2．
∵点C为直线y=2x-2与抛物线y=x²-2的交点，则点C的横、纵坐标满足：
，
解得、（舍）
∴点C的坐标为（4，6）．

（2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C₁于D、E两点．
∴y_D=4，y_E=，
∴DE=．
∵FG：DE=4：3，
∴FG=2．
∵直线x=a分别交直线AB和抛物线C₁于F、G两点．
∴y_F=2a-2，y_G=a²-2
∴FG=|2a-a²|=2，
解得：a₁=2，a₂=2+2，a₃=2-2．

（3）设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H；

设点M的坐标为（t，0），抛物线C₂的解析式为y=x²-2-m；
∴0=t²-2-m，
∴-2-m=-t²．
∴y=x²-t²，
∴点P坐标为（0，-t²）．
∵点N是直线AB与抛物线y=x²-t²的交点，则点N的横、纵坐标满足：
，
解得或（舍）．
∴N（2-t，2-2t）．
NQ=2-2t，MQ=2-2t，
∴MQ=NQ，
∴∠MNQ=45°．
∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形，
∴MO=OT，HT=HN
∴OT=-t，NT=（2-t），PT=-t+t²．
∵PN平分∠MNQ，
∴∠MNP=∠PNQ，
∵NQ∥PT，
∴∠NPT=∠PNQ，
∴∠MNP=∠NPT，
∴PT=NT，
∴-t+t²=（2-t），
∴t₁=-2，t₂=2（舍）
-2-m=-t²=-（-2）²，
∴m=2．
点评：该二次函数综合题涉及到函数图象交点坐标的求法、等腰三角形的判定与性质等知识．（3）题的难度较大，找到特殊角是解题的关键．