Question

如图1，点A为抛物线C₁：的顶点，点B的坐标为(1，0)，直线AB交抛物线C₁于另一点C．

(1)求点C的坐标；

(2)如图1，平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C₁于点E，平行于y轴的直线x＝a

交直线AB于F，交抛物线C₁于G，若FG：DE＝4∶3，求a的值；

(3)如图2，将抛物线C₁向下平移m(m＞0)个单位得到抛物线C₂，且抛物线C₂的顶点为点P，交x轴

于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

图1                              图2

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵当x=0时，y＝－2。∴A（0，－2）。

                 设直线AB的解析式为，则，解得。

                 ∴直线AB的解析式为。

                 ∵点C是直线AB与抛物线C₁的交点，

                 ∴，解得（舍去）。

                 ∴C（4，6）。

（2）∵直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C₁于点E，

 

 

     ∴，∴DE=。

     ∵FG：DE＝4∶3，∴FG=2。

             ∵直线x＝a交直线AB于点F，交抛物线C₁于点G，

             ∴。

∴FG=。

             解得。

（3）设直线MN交y轴于点T，过点N作NH⊥y轴于点H。

 

 

     设点M的坐标为（t,0），抛物线C₂的解析式为。

     ∴。∴。

∴。∴P（0，）。

                 ∵点N是直线AB与抛物线C₂的交点，

                 ∴，解得（舍去）。

∴N（）。

                 ∴NQ=，MQ=。∴NQ=MQ。∴∠NMQ=45⁰。

                 ∴△MOT，△NHT都是等腰直角三角形。∴MO=TO，HT=HN。

                 ∴OT=－t，。

                 ∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT。

                 ∴，解得（舍去）。

                 ∴。∴。

【解析】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元二次方程组，平移的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，平行的性质。

（1）由点A在抛物线C₁上求得点A的坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式；联立直线AB和抛物线C₁即可求得点C的坐标。

        （2）由FG：DE＝4∶3求得FG=2。把点F和点G的纵坐标用含a的代数式表示，即可得等式

FG=，解之即可得a的值。

        （3）设点M的坐标为（t,0）和抛物线C₂的解析式，求得t和m的关系。求出点P和点N的坐标（用t的代数式表示），得出△MOT，△NHT都是等腰直角三角形的结论。从而由角平分线和平行的性质得到PT=NT，列式求解即可求得t，从而根据t和m的关系式求出m的值。