题目内容

阅读解题
∵
1
1×2
=
1
1
-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…
∴计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2004×2005

=
1
1
-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2004
-
1
2005

=1-
1
2005
=
2004
2005

理解以上方法的真正含义，计算：
①
1
10×11
+
1
11×12
+…+
1
100×101
；
②
1
1×3
+
1
3×5
+…+
1
2005×2007
．
分析：①根据阅读材料中的解题思路，得到规律
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
（n≥1的整数），依据此规律对所求式子进行变形，去括号后合并即可得到值；
②根据阅读材料中的思路，进一步推出规律
1
n(n+2)
=
1
2
（
1
n
-
1
n+2
）（n≥1的整数），依据此规律对所求式子进行变形，即可得到值．
解答：解：①根据题意得：
1
10×11
+
1
11×12
+…+
1
100×101

=（
1
10
-
1
11
）+（
1
11
-
1
12
）+…+（
1
100
-
1
101
）
=
1
10
-
1
11
+
1
11
-
1
12
+…+
1
100
-
1
101

=
1
10
-
1
101

=
91
10100
；

②根据题意得：
1
1×3
+
1
3×5
+…+
1
2005×2007

=
1
2
（1-
1
3
）+
1
2
（
1
3
-
1
5
）+…+
1
2
（
1
2005
-
1
2007
）
=
1
2
（1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2005
-
1
2007
）
=
1
2
（1-
1
2007
）
=
1003
2007
．
点评：此题考查了有理数的混合运算，其技巧性比较强，要求学生认真阅读已知的解题思路，得出一般性的结论，根据题意总结出一般性规律是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
阅读理解下列各题，并按要求解答：
（1）阅读下列解题过程：
1
2
+1
=
1•(
2
-1)
(
2
+1)(
2
-1)
=
2
-1
(
2
)2-12
=
2
-1；
1
3
+
2
=
1•(
3
-
2
)
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=
3
-
2
(
3
)2-(
2
)2
=
3
-
2

请回答下列各问题
①观察上面解题过程，你能直接给出
1
n
+
n-1
的结果吗？
②利用上面提供的方法，你能化简下面的式子吗？
1
1+
2
+
1
2
+
3
+…+
1
98
+
99
+
1
99
+
100

（2）“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”对吗？如果不对，请举反例说明．
阅读理解题：
我们学习了二次根式的概念及其基本性质，又学习了二次根式的乘法运算法则，下面我们再来思考下面的问题：
（1）计算：
2
•
2
=
2
2
；
3
•
3
=
3
3
；
12
•
3
=
6
6
；显然将一个二次根式乘以一个适当的二次根式后结果不再含有根号．因此利用这个性质结合二次根式除法法则、分式基本性质可以化去分母中的根号，使分母中不再含有根号，如：
2
3
=
2
•
3
3
•
3
=
6
3
．
试一试：化简：①
1
12
=
1•
3
12
•
3
1•
3
12
•
3
=
3
6
3
6
；②
2
6
=
2
•
6
6
•
6
2
•
6
6
•
6
=
3
3
3
3
；
（2）计算：（2﹢
3
）（2-
3
）=
1
1
；（
6
﹢
2
）（
6
-
2
）=
4
4
；同样发现相乘的积不再含有根号．想一想：（
7
-3）（
7
+3
7
+3
）使其结果不再含有根号；同样请你仿照（1）的方法将下列二次根式化简：
1
5
-2
．
阅读下列解题过程：
在整式乘法公式中，平方差公式有着广泛的应用．特别是分母有带平方根号的实数中，应用平方差公式可将无理数化为有理数．请仔细阅读下列解题过程，然后回答下列问题．
1
5
+2
=
1•(
5
-2)
(
5
+2)(
5
-2)
=
5
-2
(
5
)2-22
=
5
-2
1
6
+
5
=
1•(
6
-
5
)
(
6
+
5
)(
6
-
5
)
=
6
-
5
(
6
)2-(
5
)2
=
6
-
5
．
问题：（1）观察上面解题过程，请直接写出
1
n
-
n-1
的结果，其结果为
n
+
n-1
n
+
n-1
．
（2）利用上面的解题方法，求下题的值．
1
1+
2
+
1
2
+
3
+
1
3
+
4
+…+
1
98
+
99
+
1
99
+
100
．
阅读理解题：
（1）观察各式：
1
2
=
1
1×2
=
1
1
-
1
2
，
1
6
=
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
12
=
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
20
=
1
4×5
=
1
4
-
1
5
，
1
30
=
1
5×6
=
1
5
-
1
6
，…
（2）请利用上述规律计算（要求写出计算过程）：
1
2
+
1
6
+
1
12
+…+
1
(n-1)n
+
1
n(n+1)

解：原式=
（3）请利用上述规律，解方程：
1
(x-4)(x-3)
+
1
(x-3)(x-2)
+
1
(x-2)(x-1)
+
1
(x-1)x
+
1
x(x+1)
=
1
x+1

解：原方程可变形如下：

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