Question

（2012•徐汇区二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinB=

3

5

，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．
（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；
（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长； 
（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB=y，OA=x，求y关于x的函数关系式及定义域．

Answer 1

分析：（1）过点M作MD⊥AB，垂足为D，根据MB=2，结合sin∠B的值，可得出MD的长，与圆M的半径进行比较即可得出⊙M与直线AB的位置关系；
（2）根据（1）得出MD＞MP，OM＞MP，从而△OMP是等腰三角形可分两种情况讨论，①OP=MP，②OM=OP，分别运用相似三角形的性质求解OA即可；
（3）先表示出NF、BF，从而可得出OF的表达式，由⊙N和⊙O外切，可得出ON=x+y，在Rt△NFO中利用勾股定理，可得出y与x的关系式，也可得出自变量的定义域．

解答：解：（1）⊙M与直线AB相离，理由如下：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵sinB=

AC

AB

=

3

5

，AC=6，
∴AB=10，BC=

AB2-AC2

=

102-62

=8．
过点M作MD⊥AB，垂足为D，
在Rt△MDB中，∠MDB=90°，sinB=

MD

MB

=

3

5

，
∵MB=2，
∴MD=

3

5

×2=

6

5

＞1，
故可得⊙M与直线AB相离；

（2）∵MD=

6

5

＞1=MP，
∴OM＞MP．
分两种情况讨论，
1°当OP=MP时，此时OP=MP=PB，
故易得∠MOB=90°，
∴cosB=

OB

BM

=

BC

AB

=

8

10

，
∴OB=

8

5

，
∴OA=

42

5

；
2°当OM=OP时，过点O作OE⊥BC，垂足为E
EB=EP+PB=

1

2

+1=

3

2

，
此时cosB=

EB

OB

=

BC

AB

=

8

10

，
∴OB=

15

8

，
∴OA=

65

8

．
综上可得，当△OMP是等腰三角形时，OA的长为

42

5

或

65

8

；

（3）连接ON，过点N作NF⊥AB，垂足为F．
在Rt△NFB中，∠NFB=90°，sinB=

3

5

，
设NB=y，则NF=

3

5

y，BF=

4

5

y，
故可得OF=10-x-

4

5

y，
∵⊙N和⊙O外切，
∴ON=x+y，
在Rt△NFO中，∠NFO=90°，则ON²=OF²+NF²，
即(x+y)2=(10-x-

4

5

y)2+(

3

5

y)2，
故可得y=

250-50x

x+40

，定义域为：0＜x＜5．

点评：此题属于圆的综合题，涉及了直线与圆的位置关系、勾股定理及等腰三角形的性质，综合性较强，难点在第二问和第三问，解答时注意分类讨论思想的运用，另外要求我们能将所学知识融会贯通．