Question

如图，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形ABCD和三角形EGF两张纸片，测得AB=5，AD=4，EF=5

5

．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．
（1）请你求出FG的长度．
（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为．y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值．
（3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也 不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．

Answer 1

分析：（1）在Rt△EFG中，根据勾股定理求出即可；
（2）有两种情况：①当0≤x≤4时，根据平行线分线段成比例定理求出BM的值，根据梯形的面积公式求出即可；②当4≤x≤10时，求出BM、CN的值，根据梯形的面积公式求出即可；把y=10代入解析式求x即可；
（3）当4≤y＜16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积可能相等，0≤y＜4或y=16时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．

解答：（1）解：∵EG=AB=5，EF=5

5

，∠EGF=90°，在△EFG中，由勾股定理得：
FG=

EF2-EG2

=

(5 5 )2-52

=10，
答：FG的长度是10．

（2）解：有两种情况：
①
如图1：∵矩形ABCD，∠EGF=90°，EG=AB，
∴AB∥CD∥EG，
∴

BM

EG

=

FB

FG

，
即

BM

5

=

10-x

10

，
∴BM=5-

1

2

x，
∴y=

1

2

（BM+EG）×BG=

1

2

•（5-

1

2

x+5）•x，
∴y=-

1

4

x²+5x（0≤x≤4）；
②
如图2：与求BM的方法类似，得出

CN

5

=

10-(x-4)

10

，
∴CN=7-

1

2

x，
∴y=

1

2

×（BM+CN）×BC=

1

2

•（5-

1

2

x+7-

1

2

x）•4，
y=-2x+24（4＜x≤10）；
综合上述：y与x的关系式是y=

- 1 4 x2+5x(0≤x≤4) -2x+24(4＜x≤10)

，
把y=10代入y=-

1

4

x²+5x得：-

1

4

x²+5x=10，
解得：x₁=10+2

15

＞4（舍去），x₂=10-2

15

；
把y=10代入y=-2x+24得：-2x+24=10，
解得：x=7．

（3）解：当4≤y＜16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积可能相等，0≤y＜4或y=16时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．

点评：本题考查了梯形，平移的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，矩形的性质等知识点的运用，能熟练地运用性质进行推理和计算是解此题的关键，题目比较典型，综合性比较强，有一定的难度，用了分类讨论思想．注意：不要漏解啊．