Question

设a＞0，解不等式a

|x|

≤x+1

Answer 1

分析：因为a＞0，①的左端非负，因此x+1≥0，求出x的取值范围后，根据x≥0和-1≤x＜0两种情况进行讨论，得到一元二次不等式后，根据韦达定理可求不等式的解．

解答：解：a

|x|

≤x+1①
因为a＞0，①的左端非负，因此x+1≥0．下面分两种情形讨论．
（1）x≥0，①式左右两边平方得a²x≤（x+1）²，整理得 x²+（2-a²）+1≥0．②
因为△=（2-a²）²-4=a²（a²-4），所以a＜2时，△＜0，②对一切x≥0成立．a≥2时，△≥0，x²+（2-a²）x+1有实根，而且两根的积为1，和为非负数a²-2，所以两根均为正．②的解为
x≥

a2-2+a a2-4

2

及0≤x≤

a2-a-a a2-4

2

．
（2）-1≤x＜0时，①式变为a

-x

≤x+1．③
③式两边平方、整理得 x²+（a²+2）x+1≥0．④
因为△=（a²+2）²-4＞0，所以x²+（a²+2）x+1有两个不相等的实数根，由韦达定理知，两根均为负．由于两根的积为1，较小的根小于-1，较大的根大于-1，所以④的解为

-a2-2+a a2+4

4

≤x＜0（a＞0）．
综合（1），（2），愿不等式的解为：
当a≥2时，

-a2-2+a a2+4

3

≤x≤

a2-2-a a2-4

2

及x≥

a2-2+a a2-4

2

；
当0＜a＜2时，
x≥

-a2-2+a a2+4

2

．

点评：本题考查一元二次不等式的求解，关键是根据x的取值范围进行分类讨论，然后求解．