题目内容

设抛物线y=ax²+bx+c与X轴交于两不同的点A（-1，0），B（m，0），（点A在点B的左边），与y轴的交点为点C（0，-2），且∠ACB=90°．
（1）求m的值和该抛物线的解析式；
（2）若点D为该抛物线上的一点，且横坐标为1，点E为过A点的直线y=x+1与该抛物线的另一交点．在X轴上是否存在点P，使得以P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AC、BC，矩形FGHQ的一边FG在线段AB上，顶点H、Q分别在线段AC、BC上，若设F点坐标为（t，0），矩形FGHQ的面积为S，当S取最大值时，连接FH并延长至点M，使HM=k•FH，若点M不在该抛物线上，求k的取值范围．

解：（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC²，
∴OB= $\text{[math]}$ ，
∴m=4，
将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
得 $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2．

（2）D（1，n）代入y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2，得n=-3，
可得 $\text{[math]}$ （不合题意舍去）， $\text{[math]}$ ，
∴E（6，7）．
过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），
∴AH=EH=7，
∴∠EAH=45°．
过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0），
∴BF=DF=3，
∴∠DBF=45°，
∴∠EAH=∠DBF=45°，
∴∠DBH=135°，
90°＜∠EBA＜135°．
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：
①若△DBP₁∽△EAB，则 $\text{[math]}$ ，
∴BP₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OP₁=4- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴P₁（ $\text{[math]}$ ，0）．
②若△DBP₂∽△BAE，则 $\text{[math]}$ ，
∴BP₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OP₂= $\text{[math]}$ -4= $\text{[math]}$ ，
∴P₂（- $\text{[math]}$ ，0）．
综合①、②，得点P的坐标为：P₁（ $\text{[math]}$ ，0）或P₂（- $\text{[math]}$ ，0）．

（3）∵HQ∥AB
∴△CHQ∽△CAB
∴HQ：AB=CR：CO，
即：设HG=x，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解得：HQ=- $\text{[math]}$ x+5
∴矩形的面积S=HG•HQ=- $\text{[math]}$ x²+5x
当x=- $\text{[math]}$ =1时，面积取得最大值．则H，R，Q的纵坐标是-1．
则HQ=- $\text{[math]}$ ×1+5= $\text{[math]}$
设直线AC的解析式是y=kx+b

根据题意得： $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$
则AC的解析式是：y=-2x-2
在解析式中，令x=-1，解得：y=0
则H的坐标是（- $\text{[math]}$ ，-1）．F的坐标是（2，0）．则HF= $\text{[math]}$ ．
设直线FH的解析式是y=kx+b
根据题意得： $\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$ ，
则直线FH的解析式是y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ．
解方程组： $\text{[math]}$ ，
解得：x= $\text{[math]}$ ．
当直线与抛物线相交时，k= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
则k的范围是：k≠ $\text{[math]}$ 且k≠ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据抛物线的解析式可知C点坐标为（0，-2），即OC=2，由于∠ACB=90度，根据射影定理OC²=OA•AB，可求出AB的长，进而可求出B点的坐标，也就求出了m的值，然后将A、B的坐标代入抛物线中即可求出其解析式．
（2）可先根据抛物线的解析式和直线AE的解析式求出E点和D点的坐标，经过求解不难得出∠FAB=∠DBO=45°，因此本题要分两种情况进行讨论：①∠DPB=∠ABE；②∠PDB=∠ABE．可根据对应的相似三角形得出的成比例线段求出OP的长，进而可求出P点的坐标．
（3）根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，以及二次函数的性质即可求得H，F的坐标，根据相似三角形的性质，即可求得直线HF与抛物线的交点的横坐标，即可求得对应的k的值，从而确定当不与抛物线相交时k的范围．
点评：本题考查二次函数解析式的确定，二次函数求最值、函数图象交点、三角形相似的性质，等知识及综合应用知识、解决问题的能力．