题目内容
已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，点E是射线CD上的一个动点（与C、
D不重合），将△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'，连接EE'.
（1）如图1，∠AEE'= °；
（2）如图2，如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F，过点E作EM∥AD交直线AF于点M，写出线段DE、BF、ME之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，如果CE=2，AE=
，求ME的长.
（1）30°；
（2）当点E在线段CD上时，
；当点E在CD的延长线上,
时，
；
时，；
时，
；
（3）
.
【解析】
试题分析：（1）根据旋转地的性质易得到△ADE≌△ABE/,∠EAE/=120°，所以∠AEE/=30°.
由于点E是射线CD上一动点，其位置不确定，故应分情况讨论：一是当点E在线段CD上时：此时易得；二是点E在CD的延长线上时，仍需考虑多种情况，可以知道，当∠EAD=300时，AE旋转后的直线与BC平行，当∠EAD=900时，AE旋转后的直线与AB共线，而∠EAD不可能为1200，所以应再次细分为三种情况：即当时；当时；当时.
(3）如图，作
于点G, 作
于点H.易知四边形AGHD是矩形和两个全等的直角三角形
；∴点
、B、C在一条直线上.继续作
于Q.
于点P. 多次利用勾股定理可得
，
，
；继而证明Rt△AG E'∽Rt△FA E'，根据相似三角形性质可求解.
试题解析：
解：(1) 30°.
当点E在线段CD上时，；
当点E在CD的延长线上，
时，；
时，；
时，.
(3)作于点G, 作于点H.
由AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，得∠ABC=∠DCB=60°，
易知四边形AGHD是矩形和两个全等的直角三角形.则GH=AD ,
BG=CH.
∵
,
∴点、B、C在一条直线上.设AD=AB=CD=x,则GH=x,BG=CH=
,.
作于Q.在Rt△EQC中，CE=2, 
,
∴
, 
.
∴E'Q=
.
作于点P.
∵△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'.
∴△A EE'是等腰三角形，
.
∴在Rt△AP E'中，E'P=
.
∴EE'=2 E'P=
.
∴在Rt△EQ E'中，E'Q=
.
∴
.
∴
.
∴，.
∴
在Rt△E'AF中,
∴Rt△AG E'∽Rt△FA E'.
∴
∴
.
∴
.
由（2）知：.
∴.
考点：1、全等三角形的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、勾股定理.
53随堂测系列答案
如图，已知，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，求AB的长和菱形ABCD的面积．
34、如图：在平行四边形ABCD中，∠B=30°，AE⊥BC于点E，AF⊥DC的延长线于点F，已知平行四边形ABCD的周长为40cm，且AE：AF=2：3．求平行四边形ABCD的面积．
如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，CD⊥BD．
如图，已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点，联结AC、DE交于点O．记向量