Question

如图，抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，

（1）求抛物线所对应的函数解析式；

（2）求△ABD的面积；

（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】代数几何综合题．

【分析】（1）在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式．

（2）根据（1）的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积．

（3）首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可．

【解答】解：（1）∵四边形OCEF为矩形，OF=2，EF=3，

∴点C的坐标为（0，3），点E的坐标为（2，3）．

把x=0，y=3；x=2，y=3分别代入y=﹣x²+bx+c中，

得，

解得，

∴抛物线所对应的函数解析式为y=﹣x²+2x+3；

 

（2）∵y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，

∴抛物线的顶点坐标为D（1，4），

∴△ABD中AB边的高为4，

令y=0，得﹣x²+2x+3=0，

解得x₁=﹣1，x₂=3，

所以AB=3﹣（﹣1）=4，

∴△ABD的面积=×4×4=8；

 

（3）△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（2）可知OA=1，

∴点A对应点G的坐标为（3，2），

当x=3时，y=﹣3²+2×3+3=0≠2，所以点G不在该抛物线上．

【点评】这道函数题综合了图形的旋转、面积的求法等知识，考查的知识点不多，难度适中．