题目内容
【题目】如图，
是
的直径，
为半径
的中点，过作
交弦
于点
，交于点
，且
.
（1）求证：
是的切线；
（2）连接
，
，求
的度数；
（3）若
，
，求的半径.
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）
的半径为4.
【解析】
（1）连接
，由等边对等角的性质可得：
，
，由垂线的性质和三角形内角和定理可得：∠OAG＋∠ADC＝90°，等角代换可得; ∠OGA＋∠DGF＝90°，继而根据切线的判定即可求证结论；
（2）连接
，先求证
是等边三角形，由等边三角形的性质可得
，继而由同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半即可求解
的度数；
（3）过点
作
于点
，先征得
，在利用三角函数值求得： 
，
，然后求证由相似三角形的判定方法
，由相似三角形的性质可得：
，进而设
，
， 
，
，
，代入，解方程即可求解.
（1）证明：如图1，连接.
∵
，
，
∵，.
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
是的切线.
（2）解：如图1，连接.
∵
，，
∴
.
∵
.
∴是等边三角形，
∴，
∴
.
（3）如图2，过点作于点.
∵
，
∴
.
∵
，
∴，
在
中，
，
∴.
∵
是的直径，
∴
，
∵
，
，
∴，
∴.
∵
，设，，则，，，
∴
，
解得：
，
∴
，
∴的半径为4.
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