Question

如图，△ABC中，AB=AC=15，∠B=30°，在AB、AC、BC上分别取一点D、E、F，使AD=AE，BD=DF，要使△DEF和△CEF均是直角三角形，那么AD=

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：分类讨论

分析：由于在△ABC中，AB=AC，AD=AE，可得DE∥BC，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EDF=30°，再根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，分∠DEF=90°和∠DFE=90°两种情况讨论可求AD的长．

解答：解：∵在△ABC中，AB=AC，AD=AE，
∴DE∥BC，
∵∠B=30°，
∴∠EDF=30°，
∴当∠DEF=90°时，设AD=x，则BD=DF=15-x，DE=

3

x，则15-x=

3

2

×

3

x，解得x=6
当∠DFE=90°时，设AD=x，则BD=DF=15-x，DE=

3

x，则

3

2

×（15-x）=

3

x，解得x=5．
综上所述，AD=5或6．
故答案为：5或6．

点评：考查了勾股定理，等腰三角形的性质和平行线的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，以及分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．