题目内容

阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：

1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+，其中ｎ是正整数。现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…＝？

观察下面三个特殊的等式

将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝

读完这段材料，请你思考后回答：

⑴

⑵

⑶

(只需写出结果，不必写中间的过程）

答案：
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阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+4+5+…+n=
1
2
n(n+1)，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：
观察下面三个特殊的等式：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1×2=
1
3
（1×2×3-0×1×2）
2×3=
1
3
（2×3×4-1×2×3）
3×4=
1
3
（3×4×5-2×3×4）
将这三个等式的两边分别相加，可以得到1×+2×3+3×4=
1
3
×3×4×5=20
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）1×2+2×3+3×4+…+100×101=
 
．
（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
 
．
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=
 
．
（只需写出结果，不必写中间的过程）
阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=
1
2
n(n+1)，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…n（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式1×2=
1
3
(1×2×3-0×1×2)，2×3=
1
3
(2×3×4-1×2×3)，3×4=
1
3
(3×4×5-2×3×4)
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）5×6=
 
=
 

将前面两个等式的两边相加，可以得到
1×2+2×3=
1
3
×2×3×4=8
将这三个等式的两边相加，可以得到
1×2+2×3+3×4=
1
3
×3×4×5=20
读完这段材料，请你思考后回答：
（2）1×2+2×3+…+100×101=
 
=
 

（3）1×2+2×3+…+n（n+1）=
 
=
 
．
阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=
1
2
n（n+1），其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…n（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式：
1×2=
1
3
（1×2×3-0×1×2），
2×3=
1
3
（2×3×4-1×2×3），
3×4=
1
3
（3×4×5-2×3×4），
将这三个等式的两边相加，可以得到：
1×2+2×3+3×4=
1
3
(1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4）
=
1
3
×3×4×5=20
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）1×2+2×3+…+7×8=
168
168
；
（2）1×2+2×3+…+n（n+1）=
1
3
n（n+1）（n+2）
1
3
n（n+1）（n+2）
；
（3）若1×2+2×3+…+n（n+1）=
1
3
×9×10×11，求n边形的内角和度数．
阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？我们可以先从简单的几个数开始，计算、观察，寻求规律，得出一般性的结论．1=
1×2
2
=1，1+2=
2×3
2
=3，1+2+3=
3×4
2
=6，1+2+3+4=
4×5
2
=10；…，
（1）计算：1+2+3+…+100=
5050
5050
．
（2）计算：41+42+43+…+100=
5050
5050
-
820
820
=
4230
4230
．

阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：…+100=经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+4+5+…+n'=，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：观察下面三个特殊的等式：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1×2=（1×2×3﹣0×1×2）
2×3=（2×3×4﹣1×2×3）
3×4=（3×4×5﹣2×3×4）
将这三个等式的两边分别相加，可以得到1×2×3+3×4=×3×4×5=20
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）1×2+2×3+3×4+…+100×101= _________ ．
（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）= _________ ．
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）= _________ ．（只需写出结果，不必写中间的过程）

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