Question

如图，△ABC中，AB=AC，cos∠ABC=

4

5

，点D在边BC上，BD=6，CD=AB．
（1）求AB的长；
（2）求∠ADC的正切值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得出AB=AC=CD=x，再表示出BH的长度，利用cos∠ABC=

4

5

=

BH

AB

，即可求出；
（2）由（1）中AB=10，可得出DH与AH的长，即可得出答案．

解答：解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∵AB=AC，
∴BH=HC=

1

2

BC
设AB=AC=CD=x
∵BD=6
∴BC=x+6，BH=

x+6

2

，
在Rt△AHB中，cos∠ABC=

BH

AB

，又cos∠ABC=

4

5

，
∴

x+6 2

x

=

4

5

，
解得：x=10，
所以AB=10．

（2）BH=HC=

1

2

BC=8，DH=CD-CH=10-8=2，
在Rt△AHB中，AH²+BH²=AB²，又AB=10，
∴AH=6，
在Rt△AHD中，tan∠ADC=

AH

DH

=

6

2

=3
∴∠ADC的正切值是3．

点评：此题主要考查了解直角三角形与勾股定理等知识，利用已知表示出BH的长度，再结合解直角三角形求出是解决问题的关键．