Question

【题目】如图，在ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．

（1）求证：△ABG≌△CDE；
（2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；
（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵GA平分∠BAD，EC平分∠BCD，

∴∠BAG= ∠BAD，∠DCE= ∠DCB，

∵ABCD中，∠BAD=∠DCB，AB=CD，

∴∠BAG=∠DCE，

同理可得，∠ABG=∠CDE，

∵在△ABG和△CDE中，

，

∴△ABG≌△CDE（ASA）；

（2）解：四边形EFGH是矩形．

证明：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，

∴∠GAB= ∠BAD，∠GBA= ∠ABC，

∵ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，

∴∠GAB+∠GBA= （∠DAB+∠ABC）=90°，

即∠AGB=90°，

同理可得，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，

∴四边形EFGH是矩形；

（3）解：依题意得，∠BAG= ∠BAD=30°，

∵AB=6，

∴BG= AB=3，AG=3 =CE，

∵BC=4，∠BCF= ∠BCD=30°，

∴BF= BC=2，CF=2 ，

∴EF=3 ﹣2 = ，GF=3﹣2=1，

∴矩形EFGH的面积=EF×GF= ．

【解析】（1）利用平行四边形的对角、对边相等性质，运用角边角证出全等；（2）平行四边形的一组邻角是同旁内角，两角平分线互相垂直，可得四边形EFGH是矩形；（3）要求矩形EFGH的面积，可求EF、FG，须求BF、CF，在Rt△BCF中可求出BF、CF.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．