Question

【题目】将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合，DF=8．

（1）若P是BC上的一个动点，当PA=DF时，求此时∠PAB的度数；

（2）将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．

①探求△CDO的形状，并说明理由；

②在图①中，若P是BC的中点，连接FP，将等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转，当旋转角α= 时，FP长度最大，最大值为 （直接写出答案即可）．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①见详解；②，.

【解析】

（1）作交BC于点H，由等腰三角形三线合一及直角三角形斜边中线的性质可得，在中解直角三角形可知BC长，即知AH长，，在中解直角三角形可知，分点P在位置和在位置2种情况求解即可；

（2）①利用等腰三角形两底角相等及三角形外角的性质可求得，易知△CDO为等腰三角形；

②由点P是BC的中点，FP长度最大，可知点F、B、P在同一条直线上，即点P在FB的延长线上，易知旋转角，求出BP、BF的长，相加即为FP长.

解：（1）如图，作交BC于点H，

为等腰直角三角形

当时，

当点P在位置时，

，

；

当点P在位置时，

，

综上所述，∠PAB的度数为或；

（2）①△CDO为等腰三角形.

，即

所以△CDO为等腰三角形；

②点P是BC的中点，FP长度最大，则点F、B、P在同一条直线上，即点P在FB的延长线上，如图所示，

边旋转了

点P是BC的中点，

在中，

所以当旋转角时，FP长度最大，最大值为.