Question

6．如图，⊙O为△ABD的外接圆，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线．
（1）求证：∠BAD=∠DBC；
（2）若⊙O的半径为3，BD⊥OC，且BD=BC，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等即可证明∠BAD=∠DBC；
（2）由垂径定理可得BE=DE=$\frac{1}{2}$BD，因为BD=BC，所以BE=$\frac{1}{2}$BC，进而可得∠C=30°，则∠ABD的度数也可求出，继而AD的长可求出．

解答 （1）证明：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠D=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵BC为⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠BAD=∠DBC；
（2）∵BD⊥OC，
∴BE=DE=$\frac{1}{2}$BD，
∵BD=BC，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠C=30°，
∴∠DBC=60°，
∴∠ABD=30°，
∵OB=3，
∴AB=6，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=3．

点评 本题考查了切线的性质、圆周角定理及其推论的运用，求出∠C=30°是解题的关键．