Question

（2012•香坊区一模）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2

2

，点D是直线BC上一点，BD=1，将射线AD绕点A逆时针旋转45°得到射线AE，交直线BC于点E，则DE=

5

3

或

13

5

．

Answer 1

分析：先根据直角三角形的性质得到BC=

2

AB=4，∠ABC=∠ACB=45°，AH=BH=

1

2

BC=2，然后讨论：当点D在线段BC上，则DH=BH-BD=2-1=1，DC=BC-BD=4-1=3，利用勾股定理可计算出AD=

5

，易得△DAE∽△DCA，则DA：DC=DE：DA，即

5

：3=DE：

5

，得到DE=

5

3

；当点D在线段CB的延长线上，同样的方法可计算出DE=

13

5

．

解答：解：过A作AH⊥BC与H，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2

2

，
∴BC=

2

AB=4，∠ABC=∠ACB=45°，
∴AH=BH=

1

2

BC=2，
当点D在线段BC上，如图．
∵BD=1，
∴DH=BH-BD=2-1=1，DC=BC-BD=4-1=3，
在Rt△AHD中，AD=

AH2+DH2

=

5

，
∵射线AD绕点A逆时针旋转45°得到射线AE，
∴∠DAE=45°，
而∠ADE=∠CDA，
∴△DAE∽△DCA，
∴DA：DC=DE：DA，即

5

：3=DE：

5

，
∴DE=

5

3

；
当点D在线段CB的延长线上，如图，
∵DB=1，
∴DH=BH+BD=2+1=3，DC=BC+BD=4+1=5，
在Rt△AHD中，AD=

AH2+DH2

=

13

，
∵射线AD绕点A逆时针旋转45°得到射线AE，
∴∠DAE=45°，
而∠ADE=∠CDA，
∴△DAE∽△DCA，
∴DA：DC=DE：DA，即

13

：5=DE：

13

，
∴DE=

13

5

，
故答案为

5

3

或

13

5

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等．也考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．