Question

1．如图，A、B分别为x轴、y轴上的两点，⊙G是△AOB的内切圆，切点分别为D、E、F，其半径为r，△AOB的两条直角边OB、OA分别为a，b，且a，b是一元一次方程x²-14x+m=0的两个根，AB=c．
（1）当⊙G的面积为4π时，过D、E两点直线的解析式为y=-x+2；
（2）当a：b=2：5时，求a、b的值；
（3）确定c与r的关系，确定c与m的关系．

Answer 1

分析 （1）如图，连接EG、DG，首先证明四边形OEGD是正方形，求出D、E坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）利用根与系数关系可知a+b=14，又a：b=2：5，解方程组即可解决．
（3）根据切线长定理、勾股定理以及根与系数关系即可解决问题．

解答 解：（1）如图，连接EG、DG．

∵D、E是切点，
∴∠OEG=∠ODG=∠EOD=90°，
∴四边形OEGD是矩形，
∵GE=GD，
∴四边形OEGD是正方形，
∴OE=OD=GE=GD，
∵⊙G的面积为4π，
∴πr²=4π，
∵r＞0，
∴r=2，
∴OE=OD=2，
∴E（0，2），D（2，0），
设直线DE的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=-x+2．
故答案为y=-x+2．

（2）a，b是一元一次方程x²-14x+m=0的两个根，
∴a+b=14，又a：b=2：5，
∴a=4，b=10．

（3）由切线长定理可知，BE=BF=a-r，AD=AF=b-r，
∵c=AB=BF+AF=a+b-2r，a+b=14，
∴c=14-2r．
∵c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-2ab}$，a+b=14，ab=m，
∴c=$\sqrt{196-2m}$．

点评 本题考查圆的综合题、一次函数的应用、待定系数法、三角形内切圆、一元二次方程的根与系数关系、切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．