Question

如图，已知BC是⊙O的直径，P是⊙O上一点，A是的中点，AD⊥BC于点D，BP与AD相交于点E．
（1）当BC=6且∠ABC=60°时，求的长；
（2）求证：AE=BE．
（3）过A点作AM∥BP，求证：AM是⊙O的切线．

Answer 1

（1）解：连接OA，AB，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠ABC=60°，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
又∵OB=BC=×6=3，
∴AB弧的长为：l===π；

（2）证明：∵点A是的中点，
∴，
∴∠C=∠ABP．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
即∠BAD+∠CAD=90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴∠ABP=∠BAD，
∴AE=BE；

（3）证明：∵A是的中点，
∴AO⊥BP，
∵AM∥BP，
∴AM⊥AO，
即AM是⊙O的切线．
分析：（1）首先连接OA，AB，由BC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得△ABC是直角三角形，又由BC=6，∠ABC=60°，即可求得⊙O的半径OB的长，继而求得的长；
（2）由A是的中点，即可求得，又由在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，即可得∠ABP=∠ACB，又由∠BAC=90°，AD⊥BC，易证得∠BAD=∠C，则问题得证；
（3）由A是的中点，由垂径定理的知识，即可求得OA⊥BP，又由AM∥BP，即可证得AM是⊙O的切线．
点评：此题考查了圆的切线的判定，垂径定理，圆周角的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．