题目内容

如图，含30°的两块相同三角板ABC和DEF都是斜边为4cm的直角三角形，且A、E、B、D（B、E不重合）都在同一直线上，连接CE、BF．
（1）求证：四边形CEFB是平行四边形；
（2）当点A、E相距3cm时，将△ABC沿着AD的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒，请问：当t为何值时，四边形CEFB是菱形？说明你的理由；
（3）在（2）中再猜想：四边形CEFB有可能是矩形吗？若能，直接写出t的值及此矩形的面积；若不能，请说明理由．

分析：（1）利用Rt△ABC≌Rt△DEF，得出∠CAB=∠FDE=30°，进而求出BC=EF，BC∥EF，即可得出四边形CEFB是平行四边形；
（2）利用当t=1秒时，首先得出△CBE是等边三角形，进而求出BC=CE，即可求出四边形CEFB是菱形；
（3）当t=3秒时，A，E重合，B，D重合，即可得出矩形以及它的面积．

解答：

（1）证明：∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∠CAB=∠FDE=30°，
∴BC=EF，∠CBA=∠FED=60°，
∴BC∥EF，
∴四边形CEFB是平行四边形；

（2）解：如图1，当t=1秒时，四边形CEFB是菱形，
∵t=1，∴AE=3-1×1=2，
∴BE=AB-AE=4-2=2，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴BC=

AB=

×4=2，
∴BC=BE，
∵∠CBA=60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴BC=CE，
∵四边形CEFB是平行四边形，
∴四边形CEFB是菱形；

（3）解：能，如图2，
当t=3秒时，A，E重合，B，D重合，
∵∠CAB+∠BAF=90°，∠C=∠F=90°，
∴四边形CEFB是矩形，
S_矩形CEFB=AC×BC=2

×2=4

（cm²）．

点评：此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的判定和矩形的判定以及矩形面积求法，利用Rt△ABC≌Rt△DEF，得出对应线段以及对应角的关系是解题关键．