Question

（2013•贵阳）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a²+b²=c²时，△ABC是直角三角形；当a²+b²≠c²时，利用代数式a²+b²和c²的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为

锐角

三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为

钝角

三角形．
（2）猜想，当a²+b²

＞

c²时，△ABC为锐角三角形；当a²+b²

＜

c²时，△ABC为钝角三角形．
（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；
（2）根据（1）中的计算作出判断即可；
（3）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．

解答：解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边=

62+82

=10，
∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：锐角；钝角；

（2）当a²+b²＞c²时，△ABC为锐角三角形；
当a²+b²＜c²时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：＞；＜；

（3）∵c为最长边，2+4=6，
∴4≤c＜6，
a²+b²=2²+4²=20，
①a²+b²＞c²，即c²＜20，0＜c＜2

5

，
∴当4≤c＜2

5

时，这个三角形是锐角三角形；
②a²+b²=c²，即c²=20，c=2

5

，
∴当c=2

5

时，这个三角形是直角三角形；
③a²+b²＜c²，即c²＞20，c＞2

5

，
∴当2

5

＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．

点评：本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．