Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到①的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到②的位置时，求证：DE=AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析②DE=CE+CD=AD+BE（2）证明见解析（3）DE=BE﹣AD（或AD=BE﹣DE，BE=AD+DE等）

【解析】

(1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，

由△ADC≌△CEB所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE= AD+ BE．

（2）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，

由△ADC≌△CEB所以AD=CE，DC=BE即可得到DE =CE-CD=AD﹣BE
(3) 由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，

由△ADC≌△CEB所以AD=CE，DC=BE即可得到DE =CD-CE=BE﹣AD．

（1）①证明：∵∠ACB=90°，∠ADC=90°，∠BEC=90°

∴∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC与△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

②DE=CE+CD=AD+BE．理由如下：

由①知，△ADC≌△BEC，

∴AD=CE，BE=CD，

∵DE=CE+CD，

∴DE=AD+BE；

（2）证明：∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

∴∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°．

∴∠CAD=∠BCE．

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）．

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE．

（3）解：同（2），易证△ADC≌△CEB．

∴AD=CE，BE=CD

∵CE=CD﹣ED

∴AD=BE﹣ED，即ED=BE﹣AD；

当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE﹣AD（或AD=BE﹣DE，BE=AD+DE等）．