题目内容
折叠问题：
（1）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG=10．
①当折痕的另一端点F在AB边上时，如图①，求△EFG的面积；
②当折痕的另一端点F在AD边上时，如图②，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．
（2）在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13．如图③所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，求点A′在BC边上可移动的最大距离．
（1）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG=10．
①当折痕的另一端点F在AB边上时，如图①，求△EFG的面积；
②当折痕的另一端点F在AD边上时，如图②，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．
（2）在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13．如图③所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，求点A′在BC边上可移动的最大距离．
分析：（1）①首先利用翻折变换的性质以及勾股定理求出AE的长，进而利用勾股定理求出AF和EF的长，即可得出△EFG的面积；
②首先证明四边形BGEF是平行四边形，再利用BG=EG，得出四边形BGEF是菱形，再利用菱形性质求出FG的长；
（2）分别利用当点P与点B重合时，以及当点D与点Q重合时，求出A′B的极值进而得出答案．
②首先证明四边形BGEF是平行四边形，再利用BG=EG，得出四边形BGEF是菱形，再利用菱形性质求出FG的长；
（2）分别利用当点P与点B重合时，以及当点D与点Q重合时，求出A′B的极值进而得出答案．
解答：
（1）①解：如图①过G作GH⊥AD，
在Rt△GHE中，GE=BG=10，GH=8，
所以，EH=
=6，AE=10-6=4，
设AF=x，则EF=BF=8-x，
则AF2+AE2=EF2，
∴x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，
∴AF=3，BF=EF=5，
故△EFG的面积为：
×5×10=25；
②证明：如图②，过F作FK⊥BG于K，
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BH∥EG，
∴四边形BGEF是平行四边形；
由对称性知，BG=EG，
∴四边形BGEF是菱形．
解：∵四边形BGEF是菱形，
∴BG=BF=10，AB=8，AF=6，
∴KG=4，FG=
=
=4
；
（2）解：如图1，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得BA′=AB=5，
如图2，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得
A′D=AD=13，
在Rt△A′CD中，A′D2=A′C2+CD2，
即132=（13-A′B）2+52，
解得：A′B=1，
所以点A'在BC上可移动的最大距离为5-1=4．
（1）①解：如图①过G作GH⊥AD，在Rt△GHE中，GE=BG=10，GH=8，
所以，EH=
| 102-82 |
设AF=x，则EF=BF=8-x，
则AF2+AE2=EF2，
∴x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，
∴AF=3，BF=EF=5，
故△EFG的面积为：
| 1 |
| 2 |
②证明：如图②，过F作FK⊥BG于K，
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BH∥EG，
∴四边形BGEF是平行四边形；
由对称性知，BG=EG，
∴四边形BGEF是菱形．
解：∵四边形BGEF是菱形，
∴BG=BF=10，AB=8，AF=6，
∴KG=4，FG=
| 82+42 |
| 80 |
| 5 |
（2）解：如图1，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得BA′=AB=5，
如图2，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得
A′D=AD=13，
在Rt△A′CD中，A′D2=A′C2+CD2，
即132=（13-A′B）2+52，
解得：A′B=1，
所以点A'在BC上可移动的最大距离为5-1=4．
点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及菱形的判定和勾股定理以及三角形面积求法等知识，注意利用翻折变换的性质得出对应线段之间的关系是解题关键．
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