Question

4．如图，△ABC，∠ACB=90°，⊙I与△ABC的AC边、BA和BC的延长线分别相切于点F、E、D，
（1）连接ID、IF，求证：四边形CDIF为正方形；
（2）若∠B=50°，连接AI、CI，求∠AIC的度数；
（3）若AB=5，BC=3，求⊙I的半径．

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质得出∠IFC=∠FCD=∠IDC=90°，进而利用正方形的判定方法得出答案；
（2）利用切线长定理结合切线的性质得出∠AIC=$\frac{1}{2}$∠EID，再利用四边形内角和定理求出即可；
（3）利用切线长定理结合BE=5+4-x，BD=3+x，求出即可．

解答 （1）证明：如图所示：连接ID、IF，
∵∠ACB=90°，⊙I与△ABC的AC边、BA和BC的延长线分别相切于点F、E、D，
∴FC=DC，AF=AE，∠IFC=∠FCD=∠IDC=90°，
∴四边形CDIF为正方形；

（2）解：如图所示：连接AI、CI，EI，
∵⊙I与△ABC的AC边、BA和BC的延长线分别相切于点F、E、D，
∴∠IFC=∠IEA=∠IDC=90°，∠EAI=∠FAI，
∴∠EIA=∠FIA，
同理可得：∠FIC=∠DIC，
∴∠AIC=$\frac{1}{2}$∠EID，
∵∠B=50°，
∴∠EID=130°，
∴∠AIC=65°；

（3）解：∵AB=5，BC=3，∠BCA=90°，
∴AC=4，设⊙I的半径为：x，
由（1）得：FC=CD=DI=x，
故AF=AE=4-x，
则BE=5+4-x，BD=3+x，
即5+4-x=3+x，
解得：x=3，
即⊙I的半径为：3．

点评 此题主要考查了正方形的判定以及切线的性质和切线长定理等知识，熟练应用切线的性质是解题关键．