Question

【题目】定义：如图，把经过抛物线 (，， ，为常数)与轴的交点和顶点的直线称为抛物线的“伴线”，若抛物线与轴交于，两点(在的右侧)，经过点和点的直线称为抛物线的“标线”．

(1)已知抛物线，求伴线的解析式．

(2)若伴线为，标线为，

①求抛物线的解析式；

②设为“标线”上一动点，过作平行于“伴线”，交“标线”上方的抛物线于，求线段长的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②时，有最大值

【解析】

（1）先根据抛物线解析式及其图象求出A、B、C、M的坐标，再根据“伴线”是过抛物线 (，， ，为常数)与轴的交点和顶点的直线，可设“伴线”为，再把点C、M代入即可求解；

（2）①根据“伴线”解析式求出点C坐标，进而求出“标线”解析式和点B坐标，将点B、C代入抛物线解析式可得原抛物线的顶点式：，继而得抛物线的顶点坐标，再将抛物线顶点坐标代入伴线解析式，解方程求得a的值，继而求得抛物线解析式；

②设点，根据平行于“伴线”，可设的直线解析式为，与抛物线联立可得Q点坐标，根据两点间距离公式可得PQ的长度为关于m的二次函数，根据二次函数的性质求出最大值即为PQ的最大值．

(1) ∵

令,则，解得：，

∴，，

令，则，

∴，

∵

将代入抛物线解析式可得

∴顶点，

设伴线为，把点，代入得：

解得：

∴伴线的解析式为：；

(2)①伴线为，

令x＝0，则y＝﹣3，

∴，

∵标线为，则，

∴，

∴标线解析式为：，

令y＝0，则x＝3，

∴，

将点，代入，

∴，，

∴，

∴抛物线顶点，

∴将点M代入伴线，得：，

整理得：，

解得：或（当时，，故舍去），

∴抛物线解析式为：；

②设点，

∵平行于“伴线”，

∴的直线解析式为，

与抛物线的交点，

∴，

∴，

∵，

∴当，即时，有最大值