Question

Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：
①（BE+CF）=BC；
②S_△AEF≤S_△ABC；
③S_{四边形AEDF}=AD•EF；
④AD≥EF；
⑤AD与EF可能互相平分，
其中正确结论的个数是（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

【答案】分析：先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE=CF，再由勾股定理即可得出BE+CF=AB=BC，从而判断①；
设AB=AC=a，AE=CF=x，先由三角形的面积公式得出S_△AEF=-（x-a）²+a²，S_△ABC=×a²=a²，再根据二次函数的性质即可判断②；
由勾股定理得到EF的表达式，利用二次函数性质求得EF最小值为a，而AD=a，所以EF≥AD，从而④错误；
先得出S_{四边形AEDF}=S_△ADC=AD，再由EF≥AD得到AD•EF≥AD²，∴AD•EF＞S_{四边形AEDF}，所以③错误；
如果四边形AEDF为平行四边形，则AD与EF互相平分，此时DF∥AB，DE∥AC，又D为BC中点，所以当E、F分别为AB、AC的中点时，AD与EF互相平分，从而判断⑤．
解答：解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，
∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，
∵，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，
在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB==BD=BC．
故①正确；
设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a-x．
∵S_△AEF=AE•AF=x（a-x）=-（x-a）²+a²，
∴当x=a时，S_△AEF有最大值a²，
又∵S_△ABC=×a²=a²，
∴S_△AEF≤S_△ABC．
故②正确；
EF²=AE²+AF²=x²+（a-x）²=2（x-a）²+a²，
∴当x=a时，EF²取得最小值a²，
∴EF≥a（等号当且仅当x=a时成立），
而AD=a，∴EF≥AD．
故④错误；
由①的证明知△AED≌△CFD，
∴S_{四边形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=AD²，
∵EF≥AD，
∴AD•EF≥AD²，
∴AD•EF＞S_{四边形AEDF}
故③错误；
当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．
故⑤正确．
综上所述，正确的有：①②⑤，共3个．
故选C．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积，函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度．