Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D。
（1）求证:AB是⊙O的切线；
（2）若CD的弦心距为1,BE=ED.求BD的长.

Answer 1

（1）证明：连结OD，
∵∠DOB=2∠DCB
又∵∠A=2∠DCB
∴∠A=∠DOB
又∵∠A+∠B=90°
∴∠DOB+∠B=90°
∴∠BDO=90°
∴OD⊥AB
∴AB是⊙O的切线
（2）解法一：过点O作OM⊥CD于点M
∵OD=OE=BE=BO
∠BDO=90°
∴∠B=30°
∴∠DOB=60°
∴∠DCB=30°OD=OC=2OM=2
∴BO=4,
∴BD=
（2）解法二：过点O作OM⊥CD于点M，连结DE,
∵OM⊥CD，∴CM=DM
又∵OC=OE∴DE=2OM=2
∵Rt△BDO中，OE=BE
∴DE=BO∴BO=4，
∴OD=OE=2，∴ BD=

                     ①                                                 ②