Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）若DE+EA=4，⊙O的半径为5，求CF的长度．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）CF=18．

【解析】

（1）根据已知条件得到OD∥AC即可，于是得到结论；

（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，构建矩形ODEH，设AH＝x．则由矩形的性质推知：AE＝5x，OH＝DE＝4（5x）＝x1．在Rt△AOH中，由勾股定理知：x2＋（x1）2＝52，通过解方程得到AH的长度，结合OH⊥AF，得到AF＝2AH＝2×4＝8，于是得到结论．

（1）∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，OD是半径，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

（2）过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，

∴四边形ODEH是矩形，

∴OD=EH，OH=DE．

设AH=x．

∵DE+AE=4，OD=5，

∴AE=5﹣x，OH=DE=4﹣（5﹣x）=x﹣1．

在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x﹣1）2=52，

解得x1=4，x2=﹣3（不合题意，舍去）．

∴AH=4．

∵OH⊥AF，

∴AH=FH=AF，

∴AF=2AH=2×4=8，

∵AC=AB=2OD=10，

∴CF=18．