Question

【题目】△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC，∠ACB＝90°

（1）如图1，点M是BA延长线上一点，连结CM，K是AC上一点，BK延长线交CM于N，∠MBN＝∠MCA＝15°，BK＝8，求CM的长度；

（2）如图2，直线l经过点C，AF⊥l于点F，BE⊥l于点E，点D是AB的中点，连接ED，求证：AF＝BE+DE；

（3）将图2中的直线l旋转到△ABC的外部，其他条件不变，请求出AF、BE、DE的关系．并写出必要的步骤．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）AF=BE+DE，见解析；（3）AF+BE＝DE，见解析

【解析】

（1）过C作CD⊥AB于D，由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠BAC＝45°，进而确定∠KBC＝30°，根据直角三角形的性质得到BC＝4，求得CD＝BC＝2，解直角三角形即可得到结论；

（2）如图2，连接DF，CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD＝BD，∠CDB＝90°，由全等三角形的性质得到BE＝CF，CE＝AF，推出△BDE≌△CDF，根据全等三角形的性质得到∠EDB＝∠FDC，DE＝DF，根据余角的性质得到∠EDF＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到EF＝DE，于是得到结论；

（3）结论：BE+AF＝DE，连接CD，DF，由（2）证得△BCE≌△ACF，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，CE＝AF，由（2）证得△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF＝DE，即可得到结论．

解：（1）过C作CD⊥AB于D，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠BAC＝45°，

∵∠MBN＝15°，

∴∠KBC＝30°，

∵BK＝8，

∴BC＝4，

∴CD＝BC＝2

∵∠MCA＝15°，∠BAC＝45°，

∴∠M＝30°，

∴CM＝2CD＝4；

（2）∵BE⊥CE，

∴∠BEC＝∠ACB＝90°，

∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF＝90°，

∴∠EBC＝∠ACF，

∵AF⊥l于点F，

∴∠AFC＝90°，

在△BCE与△ACF中，

，

∴△ACF≌△CBE（AAS），

如图2，连接DF，CD，

∵点D是AB的中点，

∴CD＝BD，∠CDB＝90°，

∵△ACF≌△CBE，

∴BE＝CF，CE＝AF，

∵∠EBD＝∠DCF，

在△BDE与△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF（SAS），

∴∠EDB＝∠FDC，DE＝DF，

∵∠CDF+∠FDB＝90°，∠EDB+∠BDF＝90°，

∴∠EDF＝90°，

∴△EDF是等腰直角三角形，

∴EF＝DE，

∴AF＝CE＝EF+CF＝BE+DE；

（3）如图3，连接CD，DF，

由（2）证得△BCE≌△ACF，

∴BE＝CF，CE＝AF，

由（2）证得△DEF是等腰直角三角形，

∴EF＝DE，

∵EF＝CE+CF＝AF+BE＝DE．

即AF+BE＝DE．