Question

已知关于x的方程x²+2（2-m）x+3-6m=0．
（1）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；
（2）如果方程的两个实数根x₁、x₂满足x₁=3x₂，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于0，即可解答；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系x₁+x₂=4x₂=-2（2-m）=2m-4，以及x₁•x₂=3x²₂=3-6m即可求得m的值．

解答：解：（1）证明：∵关于x的方程x²+2（2-m）x+3-6m=0中，△=4（2-m）²-4（3-6m）=4（m+1）²≥0，
∴无论m取什么实数，方程总有实数根．

（2）如果方程的两个实数根x₁，x₂满足x₁=3x₂，则x₁+x₂=4x₂=-2（2-m）=2m-4
∴x₂=

m

2

-1  ①
∵x₁•x₂=3x²₂=3-6m，
∴x₂²=1-2m②，
把①代入②得m（m+4）=0，
即m=0，或m=-4．
答：实数m的值是0或-4

点评：解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
（4）若一元二次方程有实数根，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．