Question

【题目】如图，∠ACL＝90°，AC＝4，动点B在射线CL，CH⊥AB于点H，以H为圆心，HB为半径作圆交射线BA于点D，交直线CD于点F，交直线BC于点E．设BC＝m．

（1）当∠A＝30°时，求∠CDB的度数；

（2）当m＝2时，求BE的长度；

（3）在点B的整个运动过程中，

①当BC＝3CE时，求出所有符合条件的m的值．

②连接EH，FH，当tan∠FHE＝时，直接写出△FHD与△EFH面积比．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）；（3）①m＝2或4；②

【解析】

（1）根据题意由HB＝HD，CH⊥BD可知：CH是BD的中垂线，再由∠A＝30°得：∠CDB＝∠ABC＝60°；

（2）由题意可知当m＝2时，由勾股定理可得：AB＝2，cos∠ABC＝，过点H作HK⊥BC于点K，利用垂径定理可得结论；

（3））①要分两种情况：I．当点E在C右侧时，II．当点E在C左侧时；根据相似三角形性质和勾股定理即可求得结论；

②根据题意先证明EF∥BD，根据平行线间距离相等可得：△FHD与△EFH高相等，面积比等于底之比，再由tan∠FHE＝可求得的值即可．

解：（1）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝60°，

∵HB＝HD，CH⊥BD，

∴CH是BD的中垂线，

∴CB＝CD，

∴∠CDB＝∠ABC＝60°；

（2）如图1，过点H作HK⊥BC于点K，

当m＝2时，BC＝2，

∴AB＝＝2，

∴cos∠ABC＝＝，

∴BH＝BCcos∠ABC＝，

∴BK＝BHcos∠ABC＝，

∴BE＝2BK＝；

（3）①分两种情况：

I．当点E在C右侧时，如图2，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，

∵BC＝3CE＝m，

∴CE＝m，BE＝m，

∵DE∥AC，

∴△DEB～△ACB，

∴＝＝，

∴DE＝AC＝，

∵CD＝CB＝m，

∴Rt△CDE中，由勾股定理得：＝m2，

∵m＞0，

∴m＝2；

II．当点E在C左侧时，如图3，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，

∵BC＝3CE，

∴CE＝m，BE＝m，

∵DE∥AC，

∴△DEB～△ACB，

∴＝＝，

∴DE＝AC＝6，

∵CD＝CB＝m，

∴Rt△CDE中，由勾股定理得：62+＝m2，

∵m＞0，

∴m＝4；

综上所述，①当BC＝3CE时，m＝2或4．

②如图4，过F作FG⊥HE于点G，

∵CH⊥AB，HB＝HD，

∴CB＝CD，

∴∠CBD＝∠CDB，

∴，即，

∴，

∴EF∥BD，

∴＝，

∵在Rt△FHG中，＝tan∠FHE＝，

设FG＝5k，HG＝12k，则FH＝＝＝13k，

∴DH＝HE＝FH＝13k，EG＝HE﹣HG＝13k﹣12k＝k，

∴EF＝＝＝k，

∴＝＝．