Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中点，过D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，则DF的长等于________．

Answer 1

2
分析：易证△CDE≌△CBA，得DE=AB，再求证△DEF为等边三角形，得DF=DE，求AB即可求得DF．
解答：解：直角△ABC中∠ABC=90°，∠ABC=60°，∴AB=BC=2，
D为AC的中点，
∴CD=CB，∠CDE=∠CBA=90°，
∴△CBA≌△CDE，
∴AB=DE，∠CED=∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠DEF=60°，
作DG∥AF交FE与G，
可见DG为梯形ACEF的中位线，
同时为FG的垂直平分线，
∴DE=EF，
∴△DEF为等边三角形，
∴AB=DE=DF，
∵AB=BC，
∴DF=2．
故答案为2．
点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的证明，考查了正三角形的判定，本题中求证DF=AB是解题的关键．