题目内容

如图①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，G、F分别是AB、AC上的两点，且GF∥BC，AF=2，BG=4．
（1）求梯形BCFG的面积；
（2）有一梯形DEFG与梯形BCFG重合，固定△ABC，将梯形DEFG向右运动，直到点D与点C重合为止，如图②．
①若某时段运动后形成的四边形BDG'G中，DG⊥BG'，求运动路程BD的长，并求此时G'B²的值；
②设运动中BD的长度为x，试用含x的代数式表示出梯形DEFG与Rt△ABC重合部分的面积S．

解：（1）在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
又∵GF∥BC，
∴∠AGF=∠AFG=45°．
∴AG=AF=2，AB=AC=6．
∴S_梯形GBCF=S_△ABC-S_△AGF= $\text{[math]}$ ．

（2）①∵在运动过程中有DG′∥BG且DG′=BG，∴BDG′G是平行四边形．
当DG⊥BG′时，BDG′G是菱形．
∴BD=BG=4．
如图③，当BDG′G为菱形时，过点G′作G′M⊥BC于点M．
在Rt△G′DM中，∠G′DM=45°，DG′=4，
∴DM=G′M且DM²+G'M²=DG'²．
∴DM=G′M= $\text{[math]}$ ，
∴BM= $\text{[math]}$ ．连接G′B．
在Rt△G′BM中， $\text{[math]}$ ．
②当0≤x≤ $\text{[math]}$ 时，其重合部分为梯形，如图②．
在Rt△AGF与Rt△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
过G点作GH垂直BC于点H，得GH= $\text{[math]}$ ．
由①，知BD=GG′=x，DC= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴S_梯形= $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ 时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③．
∵斜边DC= $\text{[math]}$ ，斜边上的高为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．

分析：（1）在Rt△ABC中由AB=AC得到∠ABC=∠ACB=45°．又由GF∥BC得到∠AGF=∠AFG=45°，由此得到AG=AF=2，AB=AC=6，而S_梯形GBCF=S_△ABC-S_△AGF，所以梯形的面积就可以求出了；
（2）①根据运动过程知道BDG′G是平行四边形，又DG⊥BG′，所以BDG′G是菱形，由此得到BD=BG=4，如图③过点G′作G′M⊥BC于点M，在Rt△G′DM中，∠G′DM=45°，DG′=4可以得到DM=G′M且DM²+G'M²=DG'²，求出DM=G'M=2 $\text{[math]}$ ，接着得到BM=4+2 $\text{[math]}$ ，然后在Rt△G′BM中，根据勾股定理可以求出BG'²；②当o≤x≤ $\text{[math]}$ 时，其重合部分为梯形，如图②．在Rt△AGF与Rt△ABC中分别求出GF，BC，过G点作GH垂直BC于点H，得GH=2 $\text{[math]}$ ，由①知BD=GG′=x，DC=6 $\text{[math]}$ -x，G'F'=2 $\text{[math]}$ -x，现在就可以用x表示S了．当 $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ 时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③．斜边DC=6 $\text{[math]}$ -x，斜边上的高为 $\text{[math]}$ ，现在也可以用x表示s了．
点评：在有关动点的几何问题中，由于图形的不确定性，我们常常需要针对各种可能出现的图形对每一种可能的情形都分别进行研究和求解．换句话说，分类思想在动态问题中运用最为广泛．