Question

如图，线段AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．
（1）求证：△OAB≌△OCD；
（2）过点O任意作一条与AB、CD都相交的直线MN，交点分别为M、N．试问：OM=ON成立吗？若成立，请进行证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）∠COD与∠AOB是对顶角，根据SAS可证明△OAB≌△OCD．
（2）在△OAB≌△OCD的基础上证明△OBM≌△ODN．再根据全等三角形的性质得OM=ON．

解答：解：证明如下：
（1）在OAB与△OCD中

OA=OC ∠AOB=∠COD OB=OD

，
∴△OAB≌△OCD．

（2）OM=0N成立；
利用∵△OAB≌△OCD，
∴∠B=∠D．
在△MOB与△NOD中

∠B=∠D OB=OD ∠MOB=∠NOD

，
∴△MOB≌△NOD，
∴OM=ON．

点评：本题考查了全等三角形的判定及其性质，通过全等三角形证明线段相等是非常重要的方法，注意掌握应用．