Question

如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30°。

（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，求图中弓形（即阴影部分）的面积。

Answer 1

解：（1）直线CD是⊙O的切线，理由如下： 连接OC， ∵∠AOC、∠ABC分别是所对的圆心角、圆周角， ∴∠AOC=2∠ABC=2×30°=60°， ∴∠D+∠AOC=30°+60°=90°， ∴∠DCO=90°， ∴CD是⊙O的切线； （2）过O作OE⊥AC，点E为垂足， ∵OA=OC，∠AOC=60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴OA=OC=AC=6，∠OAC=60°， 在Rt△AOE中， OE=OA·sin∠OAC=6·sin60°=， ∴， ∵， ∴。