题目内容

已知：在正方形ABCD中，点E是边AB上点，点G在边AD上，连接EG，EG=DG，作EF⊥EG，交边BC于点F（图1）．

（1）求证：AE+CF=EF；
（2）连接正方形ABCD的对角线AC，连接DF，线段AC与线段DF相交于点K（图2），探究线段AE、AD、AK之间的数量关系，直接写出你的结论；
（3）在（2）的条件下，连接线段DE与线段AC相交于点P，（图3）若AK=8
2
．△BEF的周长为24，求PK的长．
分析：（1）连结DF，作DM⊥EF，垂足M．先利用AAS证明△DAE≌△DME，得出AE=ME，再利用HL证明Rt△DCF≌Rt△DMF，得出CF=MF，进而可证明AE+CF=EF；
（2）连接EK、ED．先由∠EAK=∠EDK=45°，得出A、E、K、D四点共圆，根据圆内接四边形的对角互补得到∠EKD=90°，由勾股定理得出DK2=
1
2
DE2=
1
2
（AD2+AE2），再根据S四边形AEKD=S△ADE+S△KDE=S△AEK+S△KDA，由三角形的面积公式整理后可得出AE+AD=
2
AK；
（3）先由△BEF的周长为24，结合（1）的结论求出正方形ABCD的边长为12，则AC=12
2
，再由（2）的结论得出AE=4．然后根据AE∥CD，得到△AEP∽△CDP，由相似三角形对应边成比例得出
AP
CP
=
AE
CD
=
1
3
，求出CP=9
2
，进而得到PK=CP-CK=5
2
．
解答：（1）证明：连结DF，作DM⊥EF，垂足M．
∵DM⊥EF，GE⊥EF，
∴∠GEF=∠DMF=90°，
∴DM∥GE，
∴∠MDE=∠DEG，
∵DG=GE，
∴△GDE是等腰三角形，
∴∠GED=∠GDE，
∴∠GDE=∠EDM，
∵在△DAE和△DME中，
∠ADE=∠MDE
∠A=∠DME=90°
DE=DE
，
∴△DAE≌△DME（AAS），
∴DM=AD，AE=ME，
∵AD=CD，
∴DC=DM，
在Rt△DCF和Rt△DMF中，
DF=DF
DM=DC
，
∴Rt△DCF≌Rt△DMF（HL），
∴CF=MF，
∴AE+CF=EM+MF，
∵EM+MF=EF，
∴AE+CF=EF；

（2）解：连接EK、ED．
由（1）知，△DAE≌△DME，Rt△DCF≌Rt△DMF，
∴∠ADE=∠MDE=
1
2
∠ADM，∠CDF=∠MDF=
1
2
∠CDM，
∴∠EDF=∠EDM+∠MDF=
1
2
∠ADM+
1
2
∠CDM=
1
2
∠ADC=45°，
∵∠EAK=45°，
∴∠EAK=∠EDK，
∴A、E、K、D四点共圆，
∴∠EAD+∠EKD=180°，
∴∠EKD=180°-∠EAD=90°，
∴∠EDK=45°，
∴△EDK是等腰直角三角形，DE2=2DK2，
∵S四边形AEKD=S△ADE+S△KDE=S△AEK+S△KDA，
∴
1
2
AD•AE+
1
2
DK•EK=
1
2
AK•AE•sin∠EAK+
1
2
AK•AD•sin∠DAK，
∴AD•AE+DK2=AK•AE×
2
2
+AK•AD×
2
2
，
∵DK2=
1
2
DE2=
1
2
（AD2+AE2），
∴AD•AE+
1
2
（AD2+AE2）=
2
2
AK•AE+
2
2
AK•AD，
∴2AD•AE+AD2+AE2=
2
AK•AE+
2
AK•AD，
∴（AD+AE）2=
2
AK（AD+AE），
∵AD+AE≠0，
∴AE+AD=
2
AK；

（3）解：∵△BEF的周长为24，
∴BE+EF+BF=24，
由（1）知AE+CF=EF，
∴BE+AE+CF+BF=24，
∴AB+BC=24，
∴AB=BC=12，即正方形ABCD的边长为12，
∴AC=
2
AB=12
2
．
由（2）知AE+AD=
2
AK，
∵AK=8
2
，
∴AE+AD=
2
×8
2
=16，CK=AC-AK=12
2
-8
2
=4
2
，
∴AE=16-AD=4．
∵AE∥CD，
∴△AEP∽△CDP，
∴
AP
CP
=
AE
CD
=
4
12
=
1
3
，
∴CP=
3
4
AC=
3
4
×12
2
=9
2
，
∴PK=CP-CK=9
2
-4
2
=5
2
．
点评：本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，四点共圆的条件，圆内接四边形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大．准确地作出辅助线是解题的关键．
练习册系列答案
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22、已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到D，E点，使DA=AB，EA=CA，则四边形BCDE是（　　）
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（1）如图，当AP=3cm时，求y的值；
（2）设AP=xcm，试用含x的代数式表示y（cm2）；
（3）当y=2cm2时，试确定点P的位置．
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已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3．
（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是
2
2
；
（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，则第2个正方形DGHI的边长a2=
4
3
4
3
；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n个内接正方形的边长an=
2n
3n-1
2n
3n-1
．（n为正整数）
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．
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（2）如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（3）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2、S3，根据（2）中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；
（4）若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积．
（2001•天津）已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，AB=8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．
（1）如图，当AP=3cm时，求y的值；
（2）设AP=xcm，试用含x的代数式表示y（cm2）；
（3）当y=2cm2时，试确定点P的位置．

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