题目内容
已知如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=3| 3 |
交边AB、BC于点M、N．连接MN．（1）请你探究：四条线段AB、BM、BC、BN之间的关系，并证明你的结论；
（2）若M是AB边的中点，请你判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）设⊙O的半径为r，若改变点O在BC上的位置，试探究当半径r满足什么条件时，⊙O与边AC只有一个公共点．（直接写出答案）
分析：（1）根据已知利用有两组角相等的两个三角形相似得到△BMN∽△BCA，从而不难得到四个边之间的关系；
（2）连接OM，根据已知利用三角函数可得到△ACM是等边三角形，进而可推出OM⊥CM，因为OM是圆的半径，所以CM与⊙O相切；
（3）当圆以BC的一半为半径或与边AC相切时，⊙O与边AC只有一个公共点．
（2）连接OM，根据已知利用三角函数可得到△ACM是等边三角形，进而可推出OM⊥CM，因为OM是圆的半径，所以CM与⊙O相切；
（3）当圆以BC的一半为半径或与边AC相切时，⊙O与边AC只有一个公共点．
解答：
解：（1）
=
∵BN是直径，
∴∠NMB=90°∠ACB=90°
∴∠NMB=∠ACB，∠B=∠B
∴△BMN∽△BCA
∴
=
；（3分）
（2）连接OM
在Rt△ACB中，tanB=
=
∴∠B=30°
∴∠A=90°-30°=60°
∵M是AB的中点
∴MC=MA=
AB
∴△ACM是等边三角形
∴∠CMA=60°
∴∠OMB=∠B=30°
∴∠CMO=180°-60°-30°=90°
∴OM⊥CM
∴CM是⊙O的切线；（4分）
（3）
≤r≤2
（2分）
解：（1）| AB |
| NB |
| BC |
| BM |
∵BN是直径，
∴∠NMB=90°∠ACB=90°
∴∠NMB=∠ACB，∠B=∠B
∴△BMN∽△BCA
∴
| AB |
| NB |
| BC |
| BM |
（2）连接OM
在Rt△ACB中，tanB=
| AC |
| BC |
| 1 | ||
|
∴∠B=30°
∴∠A=90°-30°=60°
∵M是AB的中点
∴MC=MA=
| 1 |
| 2 |
∴△ACM是等边三角形
∴∠CMA=60°
∴∠OMB=∠B=30°
∴∠CMO=180°-60°-30°=90°
∴OM⊥CM
∴CM是⊙O的切线；（4分）
（3）
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
点评：此题主要考查学生对切线的判定，相似三角形的判定及圆与直线的位置关系等知识点的综合运用能力．
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