Question

16．如图，△A₁BC一个内角的平分线和一个外角的平分线相交得到点A₂，△A₂BC的内外角平分线相交，得到点A₃，…，用∠A表示∠A₂₀₁₅．

Answer 1

分析 由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC，而∠A₁=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC），即∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，同理可得，∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁，依此类推即可．

解答 解：△ABC中，∵∠A=∠ACD-∠ABC，A₁是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点，
∴∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BC=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A；
同理可得，∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A，
∠A₃=$\frac{1}{2}$∠A₂=$\frac{1}{{2}^{3}}$∠A，
…
依此类推，∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A．
则∠A₂₀₁₅=$\frac{1}{{2}^{2015}}$∠A．

点评 本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和是180°和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．