Question

如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．
（1）先作∠ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明：AC是所作⊙O的切线；
（3）若BC=

3

，sinA=

1

2

，求△AOC的面积．

Answer 1

（1）如图所示：

（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，
∵FC平分∠ACB，
∴OB=OE，
∴AC是所作⊙O的切线；

（3）∵sinA=

1

2

，∠ABC=90°，
∴∠A=30°，
∴∠ACB=∠OCB=

1

2

ACB=30°，
∵BC=

3

，
∴AC=2

3

，BO=tan30°BC=

3

3

×

3

=1，
∴△AOC的面积为：

1

2

×AC×OE=

1

2

×2

3

×1=

3

．