Question

如图，已知二次函数y=x²-4x+3的图象交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标．

Answer 1

分析：（1）利用y=x²-4x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线y=x²-4x+3交y轴于点C，即可得出A，B，C点的坐标，将B，C点的坐标分别代入y=kx+b（k≠0），即可得出解析式；
（2）设过D点的直线与直线BC平行，且抛物线只有一个交点时，△BCD的面积最大．

解答：解：（1）设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0）．
令x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
则A（1，0），B（3，0），C（0，3），
将B（3，0），C（0，3），代入y=kx+b（k≠0），得

0=3k+b  b=3

，
解得：k=-1，b=3，
BC所在直线为：y=-x+3；

（2）设过D点的直线与直线BC平行，且抛物线只有一个交点时，△BCD的面积最大．
∵直线BC为y=-x+3，∴设过D点的直线为y=-x+b，
∴

y=-x+b y=x2-4x+3

，∴x²-3x+3-b=0，
∴△=9-4（3-b）=0，
解得b=

3

4

，
∴

y=-x+ 3 4 y=x2-4x+3

，
解得，

x= 3 2 y=- 3 4

，
则点D的坐标为：（

3

2

，-

3

4

）．

点评：本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．