Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PC=2，PB=1．
（1）作出△ACP绕点C逆时针旋转90°所得的图形．
（2）求∠BPC的度数．

Answer 1

分析：（1）由于∠ACB=90°，AC=BC，则△ACP绕点C逆时针旋转90°得到点A的对应点B，C的对应点为C，只要作CD⊥CP，CD=CP，然后连DB即可；
（2）根据旋转的性质得到CP=CD=2，∠DCP=90°，DB=PA=3，则△CPD为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得PD=

2

PC=

2

，∠CPD=45°，在△PDB中，PB=1，PD=

2

，DB=3，易得PB²+PD²=BD²，根据勾股定理的逆定理得到△PBD为直角三角形，即可得到∠BPC的度数．

解答：解：（1）如图△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD；

（2）连DP，如图，
∵△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD，
∴CP=CD=2，∠DCP=90°，DB=PA=3，
∴△CPD为等腰直角三角形，
∴PD=

2

PC=2

2

，∠CPD=45°，
在△PDB中，PB=1，PD=2

2

，DB=3，
而1²+（2

2

）²=3²，
∴PB²+PD²=BD²，
∴△PBD为直角三角形，
∴∠DPB=90°，
∴∠BPC=45°+90°=135°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，即对应角相等，对应线段相等；也考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理．