题目内容
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=2，BC=8，∠MEN=∠B．∠MEN的顶点
E在边BC上移动，一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F，连接AF．（1）设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
（2）若△AEF为等腰三角形，求出BE的长．
分析：（1）由等腰梯形的性质得，∠B=∠C，由外角的性质得，∠BAE=∠FEC，则△ABE∽△FEC，则
=
即
=
，
从而得出y=
(x2-8x+25)（0≤x≤8）；
（2）分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H，则cos∠B=
，
然后分三种情况求解即可，
①若AE=AF，过点A作AG⊥EF，则
=
，即
=
，解得x=2，
②若AF=FE，同理有
=
，解得x=
，
③若AE=EF，同理有5=8-x，解得x=3；再根据x的取值范围，得出答案．
| AB |
| BE |
| EC |
| FC |
| 5 |
| x |
| 8-x |
| 5-y |
从而得出y=
| 1 |
| 5 |
（2）分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H，则cos∠B=
| 3 |
| 5 |
然后分三种情况求解即可，
①若AE=AF，过点A作AG⊥EF，则
| EC |
| AB |
| 6 |
| 5 |
| 8-x |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
②若AF=FE，同理有
| 5 |
| 8-x |
| 6 |
| 5 |
| 23 |
| 6 |
③若AE=EF，同理有5=8-x，解得x=3；再根据x的取值范围，得出答案．
解答：
解：（1）∵AB=DC=5，∴∠B=∠C
而∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC
∵∠AEF=∠B，∴∠BAE=∠FEC
∴△ABE∽△ECF
∴
=
即
=
∴y=
(x2-8x+25)（0≤x≤8）；
（2）分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H可推得cos∠B=
，
①若AE=AF，则有cos∠AEF=
=cos∠B=
，即
=
∵△ABE∽△ECF，∴
=
，即
=
，解得x=2，
②若AF=FE，同理有
=
，解得x=
，
③若AE=EF，同理有5=8-x，解得x=3；
∵0＜2，3，
＜8，
∴BE的长为2，3，
．
解：（1）∵AB=DC=5，∴∠B=∠C而∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC
∵∠AEF=∠B，∴∠BAE=∠FEC
∴△ABE∽△ECF
∴
| AB |
| BE |
| EC |
| FC |
| 5 |
| x |
| 8-x |
| 5-y |
∴y=
| 1 |
| 5 |
（2）分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H可推得cos∠B=
| 3 |
| 5 |
①若AE=AF，则有cos∠AEF=
| EG |
| AE |
| 3 |
| 5 |
| EF |
| AE |
| 6 |
| 5 |
∵△ABE∽△ECF，∴
| EC |
| AB |
| 6 |
| 5 |
| 8-x |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
②若AF=FE，同理有
| 5 |
| 8-x |
| 6 |
| 5 |
| 23 |
| 6 |
③若AE=EF，同理有5=8-x，解得x=3；
∵0＜2，3，
| 23 |
| 6 |
∴BE的长为2，3，
| 23 |
| 6 |
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质．
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