Question

【题目】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．

求抛物线的解析式及顶点的坐标；

判断的形状，证明你的结论；

点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】 ，顶点的坐标为；是直角三角形．理由见解析；

．

【解析】

(1)、将点A的坐标代入解析式得出b的值，从而得出函数解析式，将解析式进行配方得出顶点坐标；(2)、根据函数解析式得出点B和点C的坐标，从而得出AB、AC和BC的长度，从而得出三角形的形状；(3)、作出点C关于x轴的对应点，连接交轴于点，利用待定系数法求出直线的解析式，从而得出点M的坐标．

∵点在抛物线上，∴，

解得，∴抛物线的解析式为．

∵，∴顶点的坐标为；

是直角三角形．理由如下：当时，，∴，则．

当时，，∴，，则，∴，，

∴． ∵，，，

∴，∴是直角三角形；

作出点关于轴的对称点，则．

连接交轴于点，

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，一定，当的值最小时，的周长最小．

设直线的解析式为，则，解得，

∴．

当时，，则， ∴．