Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．

（1）求证：EF⊥AB；

（2）若∠C=30°，EF=，求EB的长．

Answer 1

【答案】(1)证明详见解析；(2)．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，AD，只要证明OD是△ABC中位线即可解决问题．

（2）首先证明AE是△ODF中位线，在Rt△AEF中求出AE，再求出OD，根据AB=2OD，求出AB即可问题．

试题解析：（1）连接OD，AD，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°．

又∵AB=AC，

∴CD=DB．又CO=AO，

∴OD∥AB．

∵FD是⊙O的切线，

∴OD⊥DF．∴FE⊥AB．

（2）∵∠C=30°，

∴∠AOD=60°，

在Rt△ODF中，∠ODF=90°，

∴∠F=30°，

∴OA=OD=OF，

在Rt△AEF中，∠AEF=90°，∠F=30°

∵EF=，

∴AE=EFtan30°=．

∵OD∥AB，OA=OC=AF，

∴OD=2AE=，AB=2OD=，

∴EB=．