Question

如图，BD是⊙O的直径，E是⊙O上的一点，直线AE交BD延长线于A，BC⊥AE于C，且∠CBE=∠DBE．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为2，AE=4

2

，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OE，则OB=OE，即可得出∠OBE=∠OEB，再由已知得出∠OEB=∠CBE，则OE∥BC，从而证出OE⊥AC；
（2）在直角三角形AOE中，根据勾股定理可直接求出AD．

解答：解：（1）连接OE
∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，
∵∠CBE=∠DBE，∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∵BC⊥AE，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；

（2）在直角三角形AOE中，OE²+AE²=AO²，
∵OD=OE=2，AE=4

2

，
∴4+32=（AD+2）²，
∴AD+2=6，
∴AD=4．

点评：本题考查了切线的性质和判定，勾股定理以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．