Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，

①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；

②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-，顶点坐标是（，）（2）①（，），（，-）或（，-）②≤t≤

【解析】

（1）根据二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），可以求得该函数的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；

（2）①根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法即可求得点M的坐标；

②根据题意，构造一个圆，然后根据圆周角与圆心角的关系和∠AMB不小于60°，即可求得t的取值范围．

（1）∵二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），

∴，得，

∴y=x2-x-=，

∴二次函数的表达式是y=x2-x-，顶点坐标是（，）；

（2）①点M的坐标为（，），（，-）或（，-）

理由：当AM1⊥AB时，如右图1所示，

∵点A（-1，0），点B（0，-），

∴OA=1，OB=，

∴tan∠BAO==，

∴∠BAO=60°，

∴∠OAM1=30°，

∴tan∠OAM1=，

解得，DM1=，

∴M1的坐标为（，）；

当BM3⊥AB时，

同理可得，，解得，DM3=，

∴M3的坐标为（，-）；

当点M2到线段AB的中点的距离等于线段AB的一半时，

∵点A（-1，0），点B（0，-），

∴线段AB中点的坐标为（-），线段AB的长度是2，

设点M2的坐标为（，m），

则=1，解得，m=，

即点M2的坐标为（，-）；

由上可得，点M的坐标为（，），（，-）或（，-）；

②如图2所示，作AB的垂直平分线，于y轴交于点F，

由题意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°，

∴以F为圆心，AF长为半径作圆交对称轴于点M和M′点，

则∠AMB=∠AM′B=∠AFB=60°，

∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1，

∴∠FAO=30°，AF==FM=FM′，OF=，

过点F作FG⊥MM′于点G，

∵FG=，

∴MG=M′G=，

又∵G（，-），

∴M（，），M′（，），

∴≤t≤．